Theo Qui định tại BBLĐ
Điều 27 (Sửa đổi bổ sung)

1- Hợp đồng lao động phải được giao kết theo một trong các loại sau đây:

a) Hợp đồng lao động không xác định thời hạn.

Hợp đồng lao động không xác định thời hạn là hợp đồng mà trong đó hai bên không xác định thời hạn, thời điểm chấm dứt hiệu lực của hợp đồng;

b) Hợp đồng lao động xác định thời hạn.

Hợp đồng lao động xác định thời hạn là hợp đồng mà trong đó hai bên xác định thời hạn, thời điểm chấm dứt hiệu lực của hợp đồng trong khoảng thời gian từ đủ 12 tháng đến 36 tháng;

c) Hợp đồng lao động theo mùa vụ hoặc theo một công việc nhất định có thời hạn dưới 12 tháng.

2- Khi hợp đồng lao động quy định tại điểm b và điểm c khoản 1 Điều này hết hạn mà người lao động vẫn tiếp tục làm việc thì trong thời hạn 30 ngày, kể từ ngày hợp đồng lao động hết hạn, hai bên phải ký kết hợp đồng lao động mới; nếu không ký kết hợp đồng lao động mới, hợp đồng đã giao kết trở thành hợp đồng lao động không xác định thời hạn. Trường hợp hai bên ký kết hợp đồng lao động mới là hợp đồng xác định thời hạn thì cũng chỉ được ký thêm một thời hạn, sau đó nếu người lao động vẫn tiếp tục làm việc thì phải ký kết hợp đồng lao động không xác định thời hạn.

Điều 37 (Sửa đổi bổ sung)
3- Người lao động làm theo hợp đồng lao động không xác định thời hạn có quyền đơn phương chấm dứt hợp đồng lao động, nhưng phải báo cho người sử dụng lao động biết trước ít nhất 45 ngày; người lao động bị ốm đau, tai nạn đã điều trị sáu tháng liền thì phải báo trước ít nhất ba ngày.

theo Thông tư số:17 /2009/TT-BLĐTBXH ngày 26 tháng 5 năm 2009
3. Cách tính và chi trả tiền trợ cấp thôi việc:
a) Công thức tính trợ cấp thôi việc ở từng doanh nghiệp:
Tiền trợ cấp
thôi việc = Tổng thời gian làm việc
tại doanh nghiệp tính
trợ cấp thôi việc x Tiền lương làm
căn cứ tính trợ
cấp thôi việc x 1/2
Trong đó:
- Tổng thời gian làm việc tại doanh nghiệp tính trợ cấp thôi việc (tính theo năm) được xác định theo khoản 3, Điều 14 Nghị định số 44/2003/NĐ-CP ngày 09 tháng 5 năm 2003 của Chính phủ, trừ thời gian đóng bảo hiểm thất nghiệp theo quy định tại Nghị định số 127/2008/NĐ-CP ngày 12 tháng 12 năm 2008 của Chính phủ. Trường hợp, tổng thời gian làm việc tại doanh nghiệp tính trợ cấp thôi việc có tháng lẻ (kể cả trường hợp người lao động có thời gian làm việc tại doanh nghiệp từ đủ 12 tháng trở lên nhưng tổng thời gian làm việc tại doanh nghiệp tính trợ cấp thôi việc dưới 12 tháng) thì được làm tròn như sau:
Từ đủ 01 tháng đến dưới 06 tháng làm tròn thành 1/2 năm;
Từ đủ 06 tháng đến dưới 12 tháng làm tròn thành 01 năm.
- Tiền lương làm căn cứ tính trợ cấp thôi việc là tiền lương, tiền công theo hợp đồng lao động, được tính bình quân của 6 tháng liền kề trước khi chấm dứt hợp đồng lao động, gồm tiền công hoặc tiền lương cấp bậc, chức vụ, phụ cấp khu vực, phụ cấp chức vụ (nếu có).

Trường hợp của bạn do tiếp tục làm việc nhưng không ký lại hợp đồng nên được chuyển thành hợp đồng không xác định thời hạn và khi nghỉ việc bạn phải báo trước 45 ngày. do bạn trình bày không rõ nên tôi không biết bạn có tuân thủ đủ thời gian này không.
Về việc trợ cấp thôi việc: theo bạn trình bày thì bạn đã hoàn thành thời hạn của hợp đồng đầu tiên nên hợp đồng này sẽ được tính trợ cấp thôi việc không phụ thuộc vào việc hợp đồng sau có chấm dứt đúng luật hay không. khoảng thời gian để tính trợ cấp là từ ngày bắt đầu hợp đồng đến ngày 01/01/2009 (ngày bắt đầu đóng bảo hiểm thất nghiệp) với mức mức hưởng trợ cấp 1 năm làm việc bằng 1/2 tháng lương, nếu có tháng lẻ thì bạn tính theo qui định như tôi đã dẫn trên.
Vì vậy bạn cứ đến công ty yêu cầu trả trợ cấp và nhận sổ BHXH.
Thân chào bạn!